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A=P-1BP
|A|=|P-1BP|=|P-1||B||P|=|P-1||P||B|=|P|-1|P||B|=|B|
上面所有-1都是-1次幂

等价的部分，去看矩阵等价的定义，矩阵初等变换的本质就是给矩阵左右乘可逆矩阵，既然A=P-1BP其中P可逆，也就是A通过初等变换到B，也就是AB等价

那为什么矩阵等价未必相似？

由相似P^-1AP=B（P可逆）公式可知，A到B过程必然经历初等变换，因此A一定等价于B，反过来A等价于B，（即PAQ=B），PAQ=B不一定相同于P^-1AP=B

后面的矩阵合同C^TAC=B也是一样，合同也必然等价，等价不一定合同

楼上说的没错，矩阵等价里面QBP=A里面的Q不一定就是P的逆矩阵